Movimiento Vibratorio

1. Movimiento periódico

Hay cuerpos que se mueven sin cesar siguiendo la misma trayectoria y reproduciendo rítmicamente su movimiento a intervalos regulares de tiempo.

La Tierra en su rotación diaria y en su viaje alrededor del Sol, las manecillas de un reloj, las piezas de un telar, el péndulo, son cuerpos que describen movimientos cuyas magnitudes características se repiten regularmente.

Las manecillas de un reloj describen un movimiento periodico

Figura 1

Un movimiento es periódico cuando las coordenadas de posición, la velocidad, la aceleración, etc., varían indefinidamente, adoptando una determinada sucesión de valores y que se repiten siempre en el mismo orden transcurrido un determinado tiempo fijo.

Los elementos del movimiento periódico son:
· Ciclo : una vuelta u oscilación completa realizada por el pto. móvil.
· Periodo : T es el tiempo empleado en un ciclo, se mide en segundos.
· Frecuencia : n es el nº de ciclos dados en un seg. [ n ] : T-1
Se mide en ciclos/s o Hercios (Hz)

1 K Hz = 103 Hz
1 M Hz = 106 Hz

El periodo y la frecuencia son magnitudes inversas.

1.1. Movimiento oscilatorio

Hay movimientos periódicos cuya trayectoria es una curva cerrada, como el de la Tierra alrededor del Sol, y otros en los que la partícula pasa alternativamente de un lado a otro de la posición de equilibrio, como el de un péndulo.

A los movimientos periódicos en los que el sentido del movimiento cambia bruscamente se les llama oscilatorios.

En estos movimientos, la posición del móvil pasa alternativamente por un máximo y un mínimo respecto a un origen. El mecanismo biela-manivela o el émbolo de un motor de explosión oscilan en torno a la posición central.

El péndulo de un reloj describe un movimiento oscilatorio

Figura 2

A la distancia que en un instante separa al punto oscilante de la posición de equilibrio se la llama elongación (x en la figura). Y a la máxima elongación o máxima distancia que en un instante se para al punto oscilante de la posición de equilibrio se la llama amplitud (A en la figura).

Figura 3

2. Movimiento vibratorio armónico simple

Una partícula describe un movimiento vibratorio armónico cuando recorre indefinidamente, en un movimiento de vaivén, un segmento de recta y es solicitada, en cada instante, hacia el centro de la trayectoria por una fuerza proporcional a la distancia a la que se encuentre del citado centro.

Al ser el módulo de la fuerza que actúa sobre la partícula variable, la aceleración, con la que se mueve, también lo es.

Al dejar caer una bola de acero sobre una superficie rígida, si el choque es perfectamente elástico, la bola describe repetidamente la misma trayectoria; pero su movimiento no es vibratorio, es oscilatorio. En todos los puntos de la trayectoria, la fuerza y la aceleración son constantes.

Los botes de una pelota no son vibraciones, pues la fuerza y aceleración son constantes en toda la trayectoria
Las oscilaciones de un muelle si describen un movimiento vibratorio armónico pues fuerza y aceleración son variables y proporcionales a la distancia al centro de oscilación

Figura 4


En resumen:

Periódico: las magnitudes se repiten indefinidamente en el mismo orden.

Oscilatorio: periódico cuando su trayectoria es un segmento.

Vibratorio: periódico y oscilatorio en el que la fuerza es proporcional a la distancia al origen.


3. Movimiento armónico simple (m.a.s.): descripción y magnitudes características (elongación, pulsación, periodo, amplitud, frecuencia, fase y fase inicial)

El movimiento vibratorio y periódico más sencillo es el que conocemos por: Movimiento vibratorio armónico simple o movimiento armónico simple (MAS) se llama así porque se puede expresar mediante funciones armónicas, como son el seno y coseno, de una sóla variable. Son unidimensionales.
Para estudiar este movimiento debemos fijarnos en la figura 5, representa el movimiento de dos ptos.:
P que realiza un M.C.U. y Q cuyas posiciones se obtienen proyectando las de P sobre el diámetro horizontal.


Figura 5

El movimiento de "Q" es un ejemplo de M.A.S. debido a que es:

  • Vibratorio, ya que se mueve a un lado y a otro de la posición de equilibrio (la que tiene en los casos 3 y 6) y
  • Periódico, puesto que el tiempo que utiliza Q en realizar una vibración completa coincide con el período T de P, es decir con el tiempo que emplea en realizar una vuelta completa.

Tomaremos la posición de equilibrio (O) Fig.6 como referencia del movimiento y la situación del móvil vendrá dada por su distancia a ese punto (X), que conoceremos por elongación. La máxima elongación posible se llama amplitud (A) y coincide con el radio de la circunferencia.

Una vibración u oscilación completa es la porción de trayectoria recorrida por Q desde una posición cualquiera hasta que retorna a ella moviéndose en el mismo sentido. Si seguimos con la mano el movimiento necesario para que Q complete una vibración desde la situación que indica la figura 6, comprobaremos que equivale a 4 amplitudes.
El nº de vibraciones que realiza Q en un segundo, se conoce por el nombre de "frecuencia" (n) y
equivale al inverso del periodo (n = 1 / T). Se mide en oscilaciones / seg, vibraciones / seg, Hz, seg-1

Fase en cualquier instante, es la magnitud que nos permite establecer el estado de vibración en ese instante, permitiéndonos calcular todas las magnitudes cinemáticas (coincide con el ángulo de posición f del radio vector del móvil auxiliar). Es una magnitud variable con el tiempo, que se mide en Radianes y que toma los valores de:

- 0 en la posición de equilibrio
- p / 2 al pasar por B (figura 6)
- p al volver a pasar por la posición de equilibrio
- 3p/ 2 al pasar por C
- 2p0) al pasar de nuevo por la posición de equilibrio

Si la partícula no parte del origen, es decir, comienza el movimiento con un ángulo fo este ángulo fo es la fase inicial.


La constante del M.A.S. que al ser multiplicado por el tiempo nos permite calcular la fase, se conoce por pulsación (w) y equivale a la velocidad angular del movimiento circular auxiliar.

Figura 6

La pulsación está relacionada con el período y la frecuencia según: w = 2p / T ó w = 2pn.

Para ver como se deduce el movimiento vibratorio armónico simple (MAS)


4. Ecuación del m.a.s.: velocidad y aceleración

Para deducir la ecuación que nos permita calcular la elongación debemos fijarnos en la figura 6 . Se comienza a contar el tiempo cuando el móvil auxiliar que realiza el M.C.U. está en P y el que realiza el MAS está en Q. Al cabo de un tiempo "t", los móviles estarán situados en los ptos: P' y Q'.

La elongación x se podrá hallar por: sen f = x / R = x / A ; x = A·sen f

La fase del MAS (f) equivale a la suma de la fase inicial y el ángulo descrito por el radio que acompaña en su movimiento al pto. P (f ') : f = fo + f '

El ángulo descrito (f ') por el radio que acompaña en su movimiento al móvil P, se puede calcular por medio del movimiento circular auxiliar f ' = w·t

Por tanto, la elongación podrá obtenerse por la expresión:

x = A sen f = A sen (fo + f ') = A sen (fo + w·t)

La elongación tiene valores positivos: cuando la fase tiene valores comprendidos entre 0 y p(figura 6)

La elongación tiene valores negativos: cuando la fase tiene valores comprendidos entre p y 0 (ó 2p,en la posición de equilibrio).

Los valores máximos cuando la fase vale p/2 y 3p/2 (extremos)
El valor nulo cuando la fase vale y 0 (ó 2p, en la posición de equilibrio).

Para realizar actividades de cambio de fase inicial con un applet

INCISO: Algunos autores miden la fase con relación al eje de abcisas (figura 7), y en este caso la elongación se calculará según:


Figura 7

x = A cos (w·t + fo) ; cos f = x / A

En este caso resultará una ecuación cosenoidal, de forma que los valores máximos de la elongación se consignan cuando la fase toma los valores p y 0 (ó 2p, en los extremos) y el valor nulo cuando la fase toma los valores p/2 y 3p/2 (en el centro).

Al ser un Movimiento Rectilíneo, la velocidad tendrá dirección constante, y por ello sólo debemos precisar su módulo y sus sentidos positivo y negativo:

V = ds/dt = dx/dt = d/dt [ A·sen (w·t + fo)] = A·w·cos ( w·t + fo)

Estudiando esta ecuación comprobamos que no es un Movimiento Uniforme ya que V varía con el tiempo.
El valor máximo w es cuando la fase tiene los valores 0 y p (cuando pasa por la posición de eq.). Y los valores nulos cuando la fase tiene los valores p/2 y 3p/2 (en los extremos).

Tendrá valores positivos (en una trayectoria horizontal se moverá hacia la derecha) cuando la fase está comprendida entre 0 y p/2 y 3p/2 y 2p.
Tendrá valores negativos (movimiento hacia la izq.) cuando la fase está comprendida entre p/2 y 3p/2.

La relación entre la velocidad y la elongación la podemos calcular según:

Dando valores a la elongación podemos comprobar que la Vmax = Aw cuando X = 0 (posición eq.) y V = 0 cuando X = A (en los extremos).

La aceleración del movimiento coincidirá con la tangencial, ya que es rectilíneo y no tiene componente normal, por eso el módulo de la aceleración se puede calcular según:

La aceleración tangencial "no es constante", y por lo tanto no se trata de un mov. uniformemente variado.

· Tiene valores máximos (Aw²) cuando la fase toma los valores p/2 y 3p/2 (en los extremos) y
· es nula cuando la fase toma los valores 0 y p (en la posición de equilibrio).

Los valores positivos corresponden a una fase comprendida entre p y 2p
y los valores negativos corresponden a una fase comprendida entre 0 y p.

Es fácil deducir la relación que hay entre la aceleración y la elongación:

Esta ecuación es la que nos permite definir y distinguir los M.A.S. ya que en este movimiento "La aceleración es opuesta (signo -) y directamente proporcional a la elongación".

Esta definición indica que la aceleración se opone a que la elongación aumente (siempre dirigida hacia el punto de equilibrio) y a su vez es directamente proporcional al valor de la propia elongación (aumenta con la elongación, por ello toma los valores nulos en la posición de equilibrio y máxima en los extremos).

w² = pulsación al cuadrado es la constante de proporcionalidad entre la aceleración y la elongación y se le llama constante armónica (K).

La figura 8 indica los valores que toman las magnitudes cinemáticas en las diferentes zonas de la trayectoria.

Figura 8

Con el fin de comparar sus valores en un mismo instante en el gráfico se han representado la Elongación, Velocidad y aceleración de un M.A.S. en función de la fase.

Gráfico 1


Observando el gráfico anterior, vemos que la X, V y a no tienen la misma fase al conseguir el valor máximo o mínimo, por eso se dice que están desfasadas.
Si nos fijamos en los valores mínimos de las curvas del gráfico, comprobaremos que corresponden a los siguientes valores de la fase:

a » p / 2
V » p
X » 3p/ 2

Con lo que comprobaremos que la aceleración está adelantada (alcanza el mínimo cuando tiene una fase menor) en p/2 respecto a la velocidad y ésta en p/2 respecto a la elongación.

Este gráfico 1 se ha obtenido de la siguiente forma:

Dando valores a la fase, obtenemos las magnitudes cinemáticas, en virtud de las ecuaciones:

X = A sen f
V = Aw cos f
a = - Aw² sen f = -w² X

f
X
V
a
0
0
Aw
0
p/ 4 = 45º
v2 / 2 A
v2 / 2 Aw
- v2 / 2 Aw²
p/ 2= 90º
A
0
- Aw²
p/ 2 + p/ 4 = 3p/ 4 = 135º
v2 / 2 A
- v2 / 2 Aw
- v2 / 2 Aw²
p= 180º
0
- Aw
0
p+ p/ 4 =5p/ 4 = 225º
- v2 / 2 A
- v2 / 2 Aw
v2 / 2 Aw²
3p/ 2 = 270º
- A
0
Aw²
3p/ 2 + p/ 4 = 7p/ 4 = 315º
- v2 / 2 A
v2 / 2 Aw
v2 / 2 Aw²
2p= 360º
0
Aw
0

Figura 9 (gráfico 1)


X, V, a no tienen la misma fase al conseguir el valor máximo ó están desfasadas (Visto en el gráfico 1).
Para calcular el desfase, convertimos sus ecuaciones en sinusoidales:


Figura 10

 

  X = A sen f  
V = Aw cos f V = Aw sen (F + p/ 2) cos f = sen (f + p/ 2)
a = - Aw² sen f sen f = - sen (F + p) sen (F + p) = -sen F

 


Figura 11


a = - Aw² sen f = Aw² sen (f + p)

Luego a adelantada p/2 respecto a V y V adelantada p/2 respecto a X.


5. Dinámica del m.a.s.

Debemos recordar que en un movimiento vibratorio debe haber una posición de equilibrio y que hay que conseguir una aceleración dada por la ec: a = -w² · x ; por ello hay que realizar una fuerza en la dirección y sentido de la aceleración, es decir tangente a la trayectoria, de sentido hacia la posición de equilibrio y módulo equivalente a:

Figura 12


F = m · a = m · (-w² x) = - m w² x = - K´· x

En la figura 12 se indica la dirección y sentido de la fuerza que debe aplicarse. Es una fuerza de tipo recuperador (actúan en la misma dirección y sentido contrario que las fuerzas deformadoras), ya que intenta llevar al móvil hacia la posición de equilibrio (ése es el significado del signo menos de la fórmula), y directamente proporcional a la deformación (la elongación), es decir, cumple las condiciones de la ley de Hook. Por eso, la fuerza que interviene en un M.A.S. es elástica y la constante de proporcionalidad (K´= m · w² ) se conoce por el nombre de constante elástica (constante recuperadora de un resorte; en los muelles esta constante elástica es pequeña, y por eso se deforman con facilidad, aumentando la tensión a medida que aumenta la deformación x). Esta constante elástica equivale al producto de la onstante armónica por la masa:

En resumen:

1. La Fuerza elástica que produce el movimiento armónico es F = -K´ x

2. El valor de la constante resulta ser: K´= F (deformadora) / ?x

3. El valor de la frecuencia depende de la cte. recuperadora f = 1/2p v K´/m

4. El análisis de la dinámica del movimiento permite dar la definición: "El movimiento armónico es el producto de una fuerza central (dirigida siempre hacia la posición de equilibrio) de dirección constante y proporcional a la elongación".


5.1. Estudiemos la Dinámica de los siguientes M.A.S.:

Ejemplo 1.
Un ejemplo de movimiento vibratorio es el que describe una partícula de masa m unida a un muelle situado horizontalmente y previamente estirado.

Las distintas magnitudes pasan sucesivamente por todos los extremos

Figura 13


Supongamos que la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie horizontal es cero. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son: su peso, la fuerza normal, la fuerza aplicada para estirarlo y la fuerza recuperadora. Ésta de sentido contrario al desplazamiento. En estas condiciones, el sistema está en equilibrio.

Para estirar el muelle hay que realizar un trabajo contra la fuerza elástica que se almacena en forma de energía potencial elástica. Al dejar de aplicar la fuerza externa, la fuerza recuperadora tiende a llevar a la partícula a la posición que tenía cuando el muelle no estaba estirado.

Al soltar la partícula, su separación de la posición central, su aceleración y la fuerza que actúa sobre ella son máximas en valor absoluto. Según se acerca al centro de oscilación, la fuerza y la aceleración disminuyen, y la energía potencial se transforma en energía cinética.

En el centro de oscilación, el desplazamiento, la fuerza y la aceleración son igual a cero. La energía potencial se ha transformado en cinética y la partícula adquiere su velocidad máxima.

De resultas de esta velocidad, la partícula continúa, por inercia, con su movimiento y se separa de la posición central de oscilación. El desplazamiento, la fuerza y la aceleración crecen en valor absoluto; la velocidad disminuye y la energía cinética se transforma en potencial. Cuando la velocidad se anula, la deformación, la aceleración y la fuerza son máximas, y toda la energía cinética se ha transformado en potencial.

A continuación el móvil invierte su movimiento repitiendo la misma trayectoria y los mismos pasos hasta la posición inicial, repitiendo el ciclo.

Este movimiento cumple las condiciones impuestas para un movimiento vibratorio armónico:

- Ser periódico.
- Recorrer indefinidamente un segmento.
- Actuar sobre la partícula una fuerza proporcional al desplazamiento y de sentido hacia el centro de la trayectoria.

Otros ejemplos de movimientos vibratorios son: el que describe una madera que flota, después de hundirla y soltarla; el que experimenta una varilla de acero suficientemente larga, al sujetarla por un extremo y separar el otro de la posición de equilibrio; las pequeñas oscilaciones de un péndulo de gran longitud.

Si la varilla y el péndulo son largos, las oscilaciones de sus extremos describen, prácticamente un segmento

Figura 14

Para la descripción matemática del movimiento son adecuadas las funciones seno y coseno porque repiten una secuencia de valores entre dos extremos. Por esta razón, a estos movimientos se les llama armónicos y al dispositivo que los produce, oscilador armónico.

El oscilador armónico: la deformación del muelle es proporcional al peso

Figura 15

Al colgar un cuerpo de masa m de un muelle o resorte, de masa despreciable y longitud lo, se estira hasta una longitud l. El alargamiento que experimenta el muelle es: Dl = l - lo.
Las fuerzas que actúan sobre el resorte son el peso del cuerpo (fuerza deformadora) y la fuerza
recuperadora Fr del muelle que equilibra a la anterior. Si el muelle está en reposo y cumple la ley de Hooke, tenemos:

Es la forma de calcular la constante recuperadora K por el método estático. Esta constante mide el grado de elasticidad del muelle.

Al soltar el cuerpol la fuerza recuperadora tiende a llevarlo a la posición de equilibrio.

Figura 16

Al aplicar verticalmente hacia abajo una fuerza externa Fext, el muelle se deforma una cantidad adicional y mientras apliquemos la fuerza externa, el muelle permanece en equilibrio, por lo que el módulo de la fuerza recuperadora se incrementa una cantidad K · y.


Al soltar el cuerpo, como la fuerza recuperadora es mayor que el peso, comienza a desplazarse hacia la posición de equilibrio, de forma que el módulo de la fuerza neta F que actúa sobre el cuerpo es:
F = Fr - P = K (l - lo) + Ky - K (l - lo) = Ky

Y vectorialmente al tener el desplazamiento y la fuerza distinto sentido:

Expresión que permite conocer la fuerza máxima al iniciarse el movimiento.

Aplicando las leyes de la dinámica: ley de Hooke y Segunda ley de Newton, y como el movimiento es vibratorio y la trayectoria es una línea recta:

Despejando el período:

Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación del oscilador armónico, y al dispositivo se le denomina oscilador armónico.

Hay que destacar bien que el período con el que vibra el resorte no depende de la longitud del muelle en reposo, ni de la amplitud de las oscilaciones.


6. El péndulo

Parece ser que el primero en estudiar detenidamente el período de un péndulo fue Galileo (1564-1642) al observar las oscilaciones de una lámpara en la catedral de Pisa. Posteriormente, Christiaan Huygens (1629-95) construyó un reloj de péndulo e inventó el resorte espiral de balancín utilizado en relojería y que constituye la cuerda de un reloj.

Las lámparas de las iglesias se asemejan al llamado péndulo simple o matemático; consta de una partícula suspendida de un punto fijo por medio de un hilo inextensible y de masa despreciable. Al separar el péndulo de la vertical un ángulo f se pone a oscilar en torno a la posición central. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso y la tensión de la cuerda.

Descomponemos el peso en sus componentes tangencial y normal a la trayectoria. La componente normal equilibra a la tensión de la cuerda y queda la componente tangencial como causa del movimiento oscilante.
Pt = mg sen f

El desplazamiento de la partícula a partir de la posición de equilibrio es:

X = l · f

Con l la longitud del hilo y f el arco medido en radianes.

El movimiento no es vibratorio, pues la fuerza recuperadora Pt = mg sen f, aunque tiene sentido contrario al desplazamiento, es proporcional a sen f, mientras que la elongación es proporcional al ángulo f.

Sin embargo, si el ángulo es suficientemente pequeño, el ángulo medido en radianes y su seno son iguales.

Para ángulos pequeños: f ~ sen f

Para ángulos menores que 10º, el movimiento del péndulo se puede considerar vibratorio y el valor real del período difiere poco del calculado (menos del 0,5%).

Las oscilaciones de un péndulo son vibraciones si el ángulo es menor a10º

Figura 17

f grados
f radianes
sen f
diferencia %
0
0
0
0
2
0,0349
0,0349
0
5
0,0873
0,0872
0,13
10
0,1745
0,1736
0,5
15
0,2618
0,2588
1,14

Es importante destacar que para ángulos pequeños el período es independiente de la amplitud y de la masa de la partícula. Por tanto, el péndulo es útil para medir tiempos y la aceleración de la gravedad. Para evitar variaciones de amplitud, que afectan al período y precisión de la medida, se utiliza un resorte tensado (la cuerda) o una masa que desciende y que se encargan de aportar la energía necesaria para compensar el rozamiento y mantener constante la amplitud y la precisión de la medida.

Para ver el comportamiento del movimiento de un PÉNDULO

7. Energía potencial elástica

Seguidamente vamos a comprobar que las Fuerzas Elásticas son conservativas y a calcular su Energía potencial asociada.

En la figura 18 se representa un muelle de masa despreciable que tiene una masa m en uno de
sus extremos sobre la que se aplica la fuerza F necesaria para mover la masa con velocidad constante.

Figura 18

Esta Fuerza deberá ser opuesta a la fuerza elástica del muelle, siendo su módulo variable, ya que la elástica también modifica su módulo de acuerdo con la ley de Hooke.

El trabajo que realiza cada Fuerza mientras desplaza la masa desde una posición XA (en nuestro caso Xa= 0 hasta otra Xb, equivale a:

De nuevo parece que el trabajo realizado por la fuerza aplicada no fue efectivo, pues la energía cinética de la masa m no varió; sin embargo no es así, ya que en la posición final la masa m tiene más energía total, puesto que cuando quede libre retornará a la posición Xa con una energía cinética que no tenía inicialmente.

La conclusión inmediata es que se trata de un caso similar al anterior, en el que la masa m tiene dos tipos de energía: la cinética y la asociada a la fuerza conservativa elástica, que conocemos por el nombre de Potencial elástica. De igual forma que en el caso anterior, el trabajo realizado por la fuerza elástica equivale al opuesto de la variación de la energía potencial asociada, por lo que:

Lo que nos permite identificar la Energía potencial y en general:

Por lo que la energía potencial elástica de una masa m sobre la que actúa una fuerza elástica, equivale a un medio del producto de la constante elástica por el cuadrado de la elongación.

Debemos recordar que para producir un M.A.S. debe actuar una fuerza elástica (por la acción de un muelle o por otro tipo de artificios), por ello, al calcular su energía total debemos tener en cuenta la cinética y la potencial elástica.


7.1. Principio de conservación de la energía

Los fenómenos físicos habituales consisten en una serie de cambios en los que se producen intercambios y transformaciones de energía. Si hiciésemos un balance de la energía que participa en el fenómeno, veríamos que se mantiene constante, aunque la cantidad de cada tipo haya variado.

En muchos casos nos es imposible controlar todas las energías que participan, pero debemos tener la seguridad de que si en un sistema hubo un aumento de energía, habrá otro sistema en algún lugar del Universo en el cual la energía ha disminuido.

En consecuencia, y por ahora, consideraremos que se cumple el principio universal de conservación de la energía (más adelante estableceremos en qué condiciones se cumple), pero ahora vamos a estudiar otros casos más interesantes para nuestro nivel.

Como hemos visto, el trabajo neto que actúa sobre el cuerpo se utiliza íntegramente en variar su energía cinética: , incluyendo en este trabajo neto todos los aplicados al cuerpo, tanto los producidos por fuerzas externas como los producidos por fuerzas internas, y los que provienen de fuerzas conservativas como los que provienen de fuerzas no conservativas.

Vamos a desdoblar este trabajo en dos términos: uno que equivale al trabajo neto realizado por las fuerzas conservativas y otro que equivale al trabajo neto de las fuerzas no conservativas:

Si fuesen nulos el trabajo neto realizado por las fuerzas conservativas como el trabajo neto realizado por las fuerzas no conservativas, bien porque no existan las fuerzas o porque se anulen los trabajos realizados, se cumplirá:

Por lo que se cumple el principio de conservación de la energía cinética: "Cuando el trabajo neto aplicado a un cuerpo es nulo, su energía cinética permanece constante".

Recordando que el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es opuesto a la variación de la energía potencial:

De esta forma llegamos a una importante conclusión: El trabajo neto realizado por las fuerzas no conservativas (el rozamiento, la fuerza realizada por los motores, la fuerza muscular, etc.) es el único que altera la energía mecánica (la suma de potencial y cinética). Las fuerzas conservativas utilizan su trabajo en transformar energía cinética en potencial o al revés, pero no alteran la suma total de ellas.

En el caso en que el trabajo neto no conservativo sea nulo (porque no existe o porque los trabajos motrices y resistentes se compensen) entonces la energía mecánica permanece constante:

Lo que nos permite enunciar el principio de conservación de la energía mecánica: "La energía mecánica de un sistema permanece constante cuando el trabajo neto no conservativo es nulo".

Este principio es de gran importancia, ya que nos permite resolver la dinámica sin necesidad de calcular aceleraciones, desplazamientos, fuerzas, trayectorias... Veamos algunos ejemplos:


a) Movimiento libre de un cuerpo que realiza un MAS: Un sólido que realiza un movimiento armónico simple sólo está bajo la acción de la fuerza elástica, que es conservativa. En estas condiciones, la energía mecánica será constante, de forma que la fuerza elástica transforma continuamente la energía cinética en potencial elástica, y al revés.

Ep (max)
Ep = 0
Ep (max)
Ec = 0
Ec(max)
Ec = 0

1 / 2 · k ·x (1)² + 1 / 2 · m · v (1)² = 1 / 2 · k · x (2)² + 1 / 2 · m · v (2)²

En los extremos la energía cinética es nula, al ser también nula la velocidad y la potencial elástica máxima. En el punto de equilibrio esta última es nula por serlo la elongación y entonces la cinética será máxima. Este proceso se repetirá continuamente mientras no actúe una fuerza no conservativa que varíe la energía mecánica.

b) Comprimir un muelle por choque con un cuerpo: La figura 19 muestra un muelle sobre el que va a chocar la bola que se acerca con cierta velocidad v. Cuando se produzca el choque, el muelle se comprimirá hasta que la bola se detenga. Durante esta acción sólo actuó la fuerza elástica, que al ser conservativa no varía la energía mecánica del sistema.

Figura 19

Al considerar la energía potencial sólo debe tenerse en cuenta la elástica, ya que la gravitatoria no varía al producirse sólo desplazamientos horizontales:

1 / 2 · k · 0² + 1 / 2 · m · v (1)² = 1 / 2 · k · x² + 1 / 2 · m · 0²

En el momento en que la bola se haya parado, la fuerza elástica del muelle seguirá actuando, y por medio de su trabajo convierte la energía potencial producida en cinética. El muelle se estirará de nuevo e impulsará la bola en sentido contrario con la misma velocidad con que llegó.

7.2. Energía del oscilador mecánico

Una partícula sometida a movimiento armónico simple tiene dos tipos de energía: una asociada al movimiento (cinética) y otra asociada al dispositivo que vibra (potencial elástica).

La energía cinética de una partícula que vibra es:

Máxima en el centro de oscilación y cero en los extremos.

Las fuerzas elásticas son conservativas, tienen asociada una función energía potencial que depende exclusivamente de la posición. El trabajo realizado por la fuerza elástica para trasladar la partícula entre dos posiciones no depende del camino seguido y es igual a menos el incremento de la energía potencial asociada a esas posiciones.

La fueza elástica y el desplazamiento tienen distinto sentido.

Figura 20

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza elástica para trasladar la partícula de la posición de elongación y1 a la de elongación y2. Tomando un desplazamiento infinitesimal dy en el que la fuerza es constante y sumando para todo el camino:

Por tanto, la energía potencial elástica asociada a una partícula situada en la posición de elongación y es:

Ep = ½ Ky²

Máxima en los extremos de la oscilación y cero en el centro.

La energía total es la suma de las energías cinética, debida a su movimiento, y potencial, asociada a la posición.


E = Ec + Ep = ½ K (A² - y²) + ½ Ky² = ½ KA² = ½ mA²w²



Figura 21

 

Si no hay rozamiento, la energía mecánica del oscilador armónico se conserva

Figura 22

Mientras no haya rozamiento, la energía mecánica total E permanece constante. Al vibrar la masa en uno y otro sentido, la energía se transforma de potencial a cinética y de cinética a potencial.

Para ver el comportamiento de un MUELLE OSCILANTE

 

8. Concepto de Amortiguamiento

En los movimientos reales, no idealizados, intervienen fuerzas de rozamiento que determinan una pérdida de energía mecánica que se trasforma en calor.

Si el amortiguamiento es pequeño, no se altera la frecuencia de la vibración

Figura 23

En el movimiento armónico simple, la pérdida progresiva de la energía mecánica del sistema se traduce en una disminución de la amplitud del movimiento hasta que se detienen las oscilaciones. Se dice que la oscilación armónica es amortiguada. El amortiguamiento se debe a la resistencia del aire y al rozamiento interno del sistema oscilante.

Si el amortiguamiento es pequeño, se puede considerar que no se altera la frecuencia de la vibración.

Un ejemplo de sistema fuertemente amortiguado es el de los amortiguadores de los coches. Sin amortiguadores, los coches oscilarían muchas veces después de pasar un bache. Cuando los amortiguadores están en buen estado, las oscilaciones se amortiguan y el automóvil oscila muy pocas veces después de pasar por un bache.

Losamortiguadores de los coches son un sistema fuertemente amortiguado

Figura 24


9. Concepto de Resonancia

En las oscilaciones amortiguadas, al disiparse energía continuamente, disminuye la amplitud de la oscilación. Para mantener el sistema en movimiento hay que comunicar energía continuamente.

Un ejemplo sencillo de resonancia lo tenemos al impulsar a un niño en un columpio. El columpio como cualquier péndulo tiene una frecuencia propia de oscilación. Si impulsamos el columpio de cualquier manera, el columpio rebota y la amplitud no aumenta. Pero si lo impulsamos con una frecuencia igual a la suya propia, la amplitud aumenta mucho.

Si empujamos el columpio con la misma frecuencia, la amplitud aumenta apreciablemente

Figura 25

Es más, el propio niño mantiene su movimiento estirando las piernas en el punto más alto de la trayectoria (eleva su centro de masas) y encogiéndolas en el punto más bajo (baja su centro de masas), de esta manera entrega energía al sistema con la misma frecuencia con que oscila.

Por tanto, para mantener el sistema en movimiento hay que comunicar energía continuamente, pero no de cualquier forma. Para que haya resonancia, hay que comunicar la energía con la misma frecuencia con la que vibra el sistema.

Las partes giratorias de las máquinas, deben estar equilibradas y aisladas para que las vibraciones no se transmitan a los edificios. Estas vibraciones generan ruidos molestos y pueden hacer entrar al sistema en resonancia, causando graves daños por un aumento excesivo de la amplitud.

Los soldados en formación nunca cruzan los puentes marcando el paso, pues, si la frecuencia del paso está próxima a alguna de las frecuencias de vibración del puente, el sistema puede entrar en resonancia y el puente se hundiría.

Para ver el funcionamiento de un sistema con RESONANCIA